数学上的投影是什么意思？

数学上的投影有两种：一种是平行投影，这种投影的投影源的光线是平行的（比如太阳光线下的投影、灯管下的投影就属于这种）。

另一种投影是中心投影，这种投影的投影源相当于一个点，比如在灯泡下的投影就是中心投影，中心投影的一个特点是影子比实物大。

可以这样简单理解：

投影就是从某个角度看过去以后，这个物体呈现的形状。

举个例子：一个圆柱体，如果从圆形的正面看过去，投影就是一个圆形；如果从柱面看上去，那么投影就是一个长方形。

在数学中，尤其是在机械制图中，投影是一个非常重要的概念，通过三个投影，大概能还原物体的形状。

投影的定义

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

投影包括平行投影和中心投影

平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

平行投影特征：

平行投影的投影线是平行的。

①等高的物体垂直于地面放置时，在太阳光下，他们的影子一样长；

②等长的物体平行于地面放置时，他们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度；

③两个物体竖直在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例。

已知物体影子可以确定光线，同一时刻关线是平行的光线下行成的，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子。

中心投影特征

中心投影的投影线交于一点。

①等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短；离点光源远的物体影子长。

②等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子长；离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度。

③点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三点的位置。

④空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了垂直相交的直线，

中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多但直观性强，看起来与人的视觉效果一致。

⑤如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似。

三视图的画法技巧

首先布局主视图，先画出主视图的布局线，形成图样的大致轮廓，然后再以布局线为基准图元绘制图样的细节。

布局左视图和俯视图，视图间的投影关系要满足“长对正”、“高平齐”、“宽相等”的原则。利用辅助投影线来绘制左视图和俯视图。

布局左视图：由于主视图里包含了左视图的许多几何信息，因此可以从主视图画一些投影线将几何特性投影到左视图中。然后根据辅助线绘制左视图的轮廓和局部细节。

布局俯视图：绘制完主视图和左视图后，俯视图延长度及宽度方向的尺寸就可以通过主视图和左视图的投影得到，为方便左视图向俯视图投影，可将左视图复制到新位置即和俯视图对齐并旋转90度，这样就可以很方便地画出投影线了。再根据辅助线画出俯视图的轮廓线和局部细节。

四棱锥三视图的画法

正视图：等腰三角形。

侧视图：等腰三角形。

俯视图：矩形中央加一个点

投影与视图

1、投影

投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

2、视图

当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

投影 （tóuyǐng），是投射线通过物体，向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法。数学上指图形的影子投到一个面或一条线上

几何中的投影

编辑

从初中数学的角度来说，一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（Projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（Parallel projection).由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（Center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影。物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。

向量中的投影

设两个非零向量a与b的夹角为θ，则将(∣b∣·cosθ) 叫做向量b在向量a方向上的投影或称标投影（scalar projection）。

|b| cosθ= （a·b） / |a|=b·a（A）

在式中引入a的单位矢量a（A），可以定义b在a上的矢投影（vector projection）

|b| cosθ a（A）= （ b·a（A） ）a（A）

由定义可知，一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于∣b∣；当θ=180°时，它等于 -∣b∣。

设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A"，作点B在直线m上的射影B"，则向量A"B" 叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。向量A"B" 的模 ∣A"B"∣=∣AB∣·∣cos〈a，e〉∣=∣a·e∣。